Первое задание

1. Простая выборка, статистика, порядковые статистики и их плотности. Эмпирическая функция распределения: определение, мат. ожидание, дисперсия, поточечная сходимость к истинной функции распределения. Статистика Колмогорова-Смирнова. Теорема Гливенко. Теорема Колмогорова.
2. Выборочное пространство, простые и сложные статистические гипотезы, статистический критерий, критическая область, вероятности ошибок 1-го и 2-го рода, уровень значимости, квантиль.
3. Критерий согласия Колмогорова. Критерий хи-квадрат для простой гипотезы. Критерий хи-квадрат для сложной параметрической гипотезы. Критерий независимости хи-квадрат. Критерий однородности хи-квадрат. Критерий инверсий. p-value.
4. Функция правдоподобия, функция отношения правдоподобия. Рандомизированный критерий, критическая функция, мощность критерия. Лемма Неймана–Пирсона (для наиболее мощного критерия), критерий Неймана–Пирсона. Равномерно наиболее мощный критерий, несмещенность критерия, состоятельность критерия. Теорема о равномерно наиболее мощном несмещенном критерии.

Второе задание

1. Функция риска. Байесовский риск. Байесовское решающее правило. Теорема о виде байесовского решающего правила в случае нескольких простых гипотез. Минимаксное решающее правило. Связь байесовского и минимаксного решающих правил. Лемма Неймана–Пирсона (для наиболее мощного критерия, критерия Байеса и минимаксного критерия).
2. Несмещенность, состоятельность, оптимальность точечных оценок. Достаточные статистики. Критерий факторизации. Полные достаточные статистики. Теорема Рао-Блекуэлла–Колмогорова. Теорема о полных достаточных статистиках. Теорема и неравенство Рао–Крамера. Эффективные оценки. Оценка максимального правдоподобия.
3. Доверительный интервал. Построение доверительного интервала с помощью центральной статистики. Построение доверительных интервалов с помощью критерия отношения правдоподобия. Интервальное оценивание параметров нормальной модели.
4. Метод наименьших квадратов. Модели линейной, параболической и нормальной регрессии. Теорема Гаусса–Маркова. Байесовская оценка и алгоритм ее построения.