Первое задание:

1. Случайный процесс. Траектория и сечение. n-мерная функция распределения. Корреляционная и ковариационная функции.
2. Процесс с независимыми приращениями. Пуассоновский случайный процесс, его математическое ожидание и корреляционная функция. Распределение сечений пуассоновского процесса и интервалов между его прыжками. Нормальный случайный процесс. Винеровский процесс, его математическое ожидание и корреляционная функция. Теорема Вика и несколько примеров.
3. Сходимость в среднеквадратичном смысле, почти наверное, по вероятности, по распределению. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по Риману в среднем квадратичном. Критерии непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости в среднем квадратичном.
4. Эргодический процесс. Критерий эргодичности. Достаточное условие эргодичности. Стационарность в узком и широком смыслах. Свойства корреляционной функции стационарного процесса. Теорема Хинчина. Теорема Крамера. Спектральная функция, спектральная плотность. Спектральная плотность с.к.-производной процесса.

Второе задание:

1. Дискретная цепь Маркова. Переходная матрица. Однородная цепь Маркова. Распределение вероятностей состояний, его зависимость от шага. Формула Колмогорова—Чепмена.
2. Сообщающиеся, существенные, возвратные, нулевые, периодические состояния. Связь между нулевыми и возвратными состояниями. Критерий «возвратности» состояния. Неразложимая цепь Маркова. Теорема о солидарности.
3. Стационарное распределение. Эргодическая цепь Маркова. Эргодическая теорема для конечных цепей. Теорема о предельном распределении эргодической цепи.
4. Непрерывная цепь Маркова. Распределение вероятностей состояний и его эволюция со временем. Интенсивность перехода из состояние в состояние. Теорема Колмогорова для непрерывных цепей Маркова.
5. Простейший пуассоновский поток событий. Процессы гибели и рождения.